一個函數 f(x) 在定義域 d 上有界，當且僅當存在實數 m 和 m，使得對于 d 中的所有 x，都有 m ≤ f(x) ≤ m。

函數有界的定義

定義：

一個函數 f(x) 在定義域 D 上有界，當且僅當存在兩個實數 M 和 m，使得對于 D 中的所有 x，都有：

m ≤ f(x) ≤ M

其中：

• M 是函數 f(x) 的上界，即所有函數值的上限。
• m 是函數 f(x) 的下界，即所有函數值的下限。

等價條件：

函數 f(x) 在定義域 D 上有界的等價條件如下：

• 存在實數 M，使得 |f(x)| ≤ M，對于 D 中的所有 x。
• 存在正實數 M，使得 -M ≤ f(x) ≤ M，對于 D 中的所有 x。

推論：

有界函數滿足以下性質：

• 如果 f(x) 和 g(x) 都有界，那么 f(x) + g(x) 也一定有界。
• 如果 f(x) 有界，且 c 是常數，那么 cf(x) 也一定有界。
• 一個有界的函數一定是一個連續函數。