反函數(shù)是函數(shù)的特殊類型，它反轉(zhuǎn)了原函數(shù)的輸入和輸出，且與原函數(shù)的圖像關(guān)于 y = x 線對稱。其性質(zhì)包括：f(x) 必須單調(diào)可逆；反函數(shù) f^-1(x) 也單調(diào)可逆；原反函數(shù)圖像關(guān)于 y = x 線對稱；復(fù)合運算 f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。求反函數(shù)的方法為：交換 x 和 y；求解 y 關(guān)于 x；將 y 替換為 x。

反函數(shù)和原函數(shù)的關(guān)系

反函數(shù)是函數(shù)的一種特殊類型，它反轉(zhuǎn)了原函數(shù)的輸入和輸出。換句話說，反函數(shù)對于原函數(shù)的圖像與關(guān)于 y = x 線對稱。

定義

如果 f(x) 是一個單調(diào)可逆的函數(shù)，那么其反函數(shù) f^-1(x) 定義為 f^-1(y) = x，其中 x 和 y 滿足關(guān)系 f(x) = y。

性質(zhì)

• 反函數(shù)存在的條件：f(x) 必須是單調(diào)可逆的。
• 一對應(yīng)性：反函數(shù) f^-1(x) 也是單調(diào)可逆的。
• 對稱性：原函數(shù) f(x) 的圖像與反函數(shù) f^-1(x) 的圖像關(guān)于 y = x 線對稱。
• 復(fù)合運算：如果 f(x) 和 f^-1(x) 是原函數(shù)和反函數(shù)，則 f(f^-1(x)) = x，f^-1(f(x)) = x。

如何求反函數(shù)

1. 交換 x 和 y：將原函數(shù)中的 x 和 y 互換，得到 y = f(x)。
2. 求解 y 關(guān)于 x：將 y 解釋為 f^-1(x)，并求解 x 關(guān)于 y 的表達(dá)式。
3. 替換 y 為 x：將步驟 2 中得到的 x 表達(dá)式中的 y 替換為 x。

舉例

• f(x) = 2x + 1：反函數(shù) f^-1(x) = (x – 1)/2
• f(x) = sin(x)：反函數(shù) f^-1(x) = arcsin(x)
• f(x) = e^x：反函數(shù) f^-1(x) = ln(x)